Quer esteja a cronometrar a velocidade com que consegue abastecer a sua máquina de café ou simplesmente a contar os seus passos até à paragem de autocarro de manhã, existe algo na monotonia do quotidiano que nos faz tentar transformá-la num jogo. Os habitantes da cidade prussiana de Königsberg no século XVIII (agora, como você sabe, Kaliningrado) eram iguais a todos nós. Foi apenas o jogo que eles jogaram com sete pontes em sua cidade que um dia despertou o interesse de um dos maiores matemáticos da história humana.
Königsberg foi construída às margens do rio Pregel (Pregolya), que dividia a cidade em quatro áreas residenciais separadas. As pessoas se mudaram de uma área para outra por meio de sete pontes diferentes. Segundo a lenda, um passatempo popular durante as caminhadas de domingo era tentar cruzar a cidade inteira de forma que apenas uma ponte fosse cruzada em cada ponte. Ninguém descobriu como fazer isso, mas isso não significa que o problema não tenha solução. Eles apenas tinham que ir ao especialista certo para conhecê-lo.
Em 1735, o prefeito da cidade de Danzig (atual Gdansk polonês), localizada a 120 quilômetros a oeste de Königsberg, Karl Leonard Gottlieb Ehler, escreveu a Leonard Euler com uma carta na qual pedia ajuda para resolver esse problema em nome de um professor local de matemática chamado Heinrich Kuehn. Mesmo então, Euler era um matemático famoso e muito bem-sucedido - ele publicou seu primeiro livro um ano após esta carta, e em toda sua vida escreveu mais de 500 livros e artigos.
Portanto, não é surpreendente que a princípio Euler pensasse que estava abaixo de sua dignidade lidar com este problema e escreveu em resposta: "Então, veja, caro senhor, este tipo de solução não tem praticamente nada a ver com matemática, e eu não entendo por que você está lidando com tal um pedido a um matemático e não a outra pessoa, visto que a decisão se baseia apenas no bom senso e não depende de nenhum dos princípios matemáticos conhecidos."
No final, porém, Ehler e Kühn conseguiram convencer Euler, e ele percebeu que esse era um tipo completamente novo de matemática - a "geometria das posições", hoje conhecida como topologia. Em topologia, a forma ou localização exata de um objeto não importa. Existe até uma velha piada de que um topologista não consegue diferenciar um donut de uma xícara de café, já que os dois itens têm exatamente um orifício. Até então, essa área completamente nova da matemática era apenas escrita, mas ninguém ainda entendia quais problemas ela poderia resolver. As sete pontes de Königsberg foram uma excelente confirmação experimental da nova teoria, uma vez que o problema não exigia medidas ou cálculos precisos. Você pode transformar um mapa de uma cidade complexo em um gráfico (diagrama) simples e compreensível sem perder nenhuma informação importante.
Embora alguém possa ficar tentado a resolver esse problema mapeando todas as rotas possíveis pela cidade, Euler imediatamente percebeu que essa estratégia demoraria muito e não funcionaria com outros problemas semelhantes (e se houvesse, digamos, doze pontes?). Em vez disso, ele decidiu fazer uma pausa nas pontes por um tempo e marcou o terreno com as letras A, B, C e D. Assim, ele agora poderia descrever a jornada através da ponte da área A para a área B como AB, e a jornada da área A através da área B D como ABD. É importante notar aqui que o número de letras na descrição do percurso será sempre um a mais que o número de pontes cruzadas. Assim, a rota AB cruza uma ponte e a rota ABD cruza duas pontes e assim por diante. Euler percebeu que, como existem sete pontes em Königsberg, para cruzar todas elas,o percurso deve ser composto por oito letras, o que significa que a solução do problema exigirá exatamente oito letras.
Então ele veio com uma regra mais geral usando um esquema ainda mais simplificado. Se você tivesse apenas duas seções de terra, A e B, e cruzasse a ponte uma vez, a seção A poderia ser onde a jornada começou ou onde terminou, mas você estaria na seção A apenas uma vez. Se você cruzou as pontes a, b e c uma vez, você estaria na seção A exatamente duas vezes. Isso levou a uma regra útil: se você tiver um número par de pontes que levam a um pedaço de terra, você deve adicionar um a esse número e, em seguida, dividir o total por dois para descobrir quantas vezes aquela seção deve ser usada durante a viagem. (neste exemplo, adicionando um ao número de pontes, ou seja, a 3, obtemos quatro, e dividindo quatro por dois obtemos dois,ou seja, é exatamente duas vezes durante a viagem que a seção A) é cruzada.
Vídeo promocional:
Esse resultado trouxe Euler de volta ao seu problema original. Existem cinco pontes que levam à Seção A, portanto, a solução de oito letras que ele está procurando terá de ser cruzada três vezes. As seções B, C e D têm duas pontes que levam a elas, portanto, cada uma deve se cruzar duas vezes. Mas 3 + 2 + 2 + 2 é 9, não 8, embora de acordo com a condição você precise passar por apenas 8 seções e cruzar 7 pontes. Isso significa que é impossível atravessar toda a cidade de Königsberg usando cada ponte exatamente uma vez. Em outras palavras, neste caso o problema não tem solução.
No entanto, como qualquer verdadeiro matemático, Euler não parou por aí. Ele continuou a trabalhar e criou uma regra mais geral para outras cidades com um número diferente de pontes. Se a cidade tiver um número ímpar de pontes, então há uma maneira simples de saber se você pode fazer essa viagem ou não: se a soma do número de ocorrências de cada letra que denota um pedaço de terreno é um a mais do que o número de pontes (como, por exemplo, na solução de oito letras, cerca de mencionado anteriormente), tal viagem é possível. Se a soma for maior que esse número, é impossível.
Que tal um número par de pontes? Nesse caso, tudo depende de por onde começar. Se você começar na Seção A e passar por duas pontes, A aparecerá duas vezes em sua solução. Se você começar do outro lado, A aparecerá apenas uma vez. Se houver quatro pontes, A aparecerá três vezes se esta seção for o ponto de partida ou duas vezes se não for. Em termos gerais, isso significa que se a viagem não começa no trecho A, deve ser cruzada duas vezes mais que o número de pontes (quatro dividido por dois dá dois). Se a viagem começa na seção A, ela deve se cruzar mais uma vez.
A genialidade da solução de Euler não está nem na resposta, mas no método que ele aplicou. Foi um dos primeiros usos da teoria dos grafos, também conhecida como teoria das redes, uma área da matemática muito procurada no mundo de hoje, repleta de transportes, redes sociais e eletrônicas. Quanto a Königsberg, a cidade acabou ganhando outra ponte, o que tornou a decisão de Euler controversa, e então as forças britânicas destruíram a maior parte da cidade durante a Segunda Guerra Mundial. Hoje, tanto a cidade quanto o rio têm novos nomes, mas o antigo problema reside em um campo da matemática completamente novo.
Igor Abramov
