Outro lote de paradoxos e experimentos mentais
Esta coleção levará muito menos tempo para ler do que para refletir sobre os paradoxos nela apresentados. Alguns dos problemas são contraditórios apenas à primeira vista, outros, mesmo após centenas de anos de intenso trabalho mental sobre eles pelos maiores matemáticos, filósofos e economistas, parecem insolúveis. Quem sabe, talvez seja você quem conseguirá formular uma solução para um desses problemas, que se tornará, como dizem, um livro didático e será incluído em todos os livros didáticos.
1. O paradoxo do valor
O fenômeno, também conhecido como paradoxo do diamante e da água ou paradoxo de Smith (em homenagem a Adam Smith, o economista clássico que se acredita ser o primeiro a formular esse paradoxo), é que, embora a água como recurso seja muito mais útil do que pedaços de cristal carbono, a que chamamos diamantes, o preço deste último no mercado internacional é incomparavelmente superior ao custo da água.
Adam Smith
Do ponto de vista da sobrevivência, a humanidade realmente precisa de muito mais água do que diamantes, mas suas reservas, é claro, são mais do que as de diamantes, então os especialistas dizem que não há nada de estranho na diferença de preço - afinal, estamos falando do custo por unidade de cada recurso, e é amplamente determinado por isso um fator como utilidade marginal.
Com um ato contínuo de consumo de um recurso, sua utilidade marginal e, como resultado, o valor inevitavelmente cai - esse padrão foi descoberto no século 19 pelo economista prussiano Hermann Heinrich Gossen. Em termos simples, se uma pessoa receber três copos de água consistentemente, ela beberá o primeiro, lavará a água do segundo e o terceiro irá para o chão.
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A maior parte da humanidade não sente uma necessidade aguda de água - para obter o suficiente, basta abrir a torneira, mas nem todo mundo tem diamantes, e é por isso que são tão caros.
2. O paradoxo do avô assassinado
Este paradoxo foi sugerido em 1943 pelo escritor francês de ficção científica Rene Barzhavel em seu livro The Careless Traveller (original Le Voyageur Imprudent).
Rene Barzhavel
Suponha que você tenha inventado uma máquina do tempo e tenha passado por ela. O que acontece se você encontrar seu avô lá e matá-lo antes que ele conheça sua avó? Provavelmente nem todo mundo vai gostar desse cenário sanguinário, então, digamos, você evita o encontro de outra forma, por exemplo, leva-o para o outro lado do mundo, onde ele nunca saberá da sua existência, o paradoxo não desaparece daí.
Se o encontro não acontecer, sua mãe ou seu pai não nascerão, não serão capazes de conceber você e, portanto, você não inventará uma máquina do tempo e não voltará no tempo, então o avô poderá se casar livremente com a avó, eles terão um de seus pais e assim por diante. - o paradoxo é óbvio.
A história do avô morto no passado é freqüentemente citada por cientistas como prova da impossibilidade fundamental da viagem no tempo, mas alguns especialistas dizem que, sob certas condições, o paradoxo pode ser resolvido. Por exemplo, ao matar seu avô, o viajante do tempo criará uma versão alternativa da realidade na qual nunca nascerá.
Além disso, muitos sugerem que mesmo tendo caído no passado, a pessoa não será capaz de influenciá-la, pois isso levará a uma mudança no futuro do qual ela faz parte. Por exemplo, uma tentativa de assassinar um avô está deliberadamente fadada ao fracasso - afinal, se o neto existe, então seu avô, de uma forma ou de outra, sobreviveu à tentativa de assassinato.
3. Envie Teseu
O nome do paradoxo foi dado por um dos mitos gregos que descreve as façanhas do lendário Teseu, um dos reis atenienses. Segundo a lenda, os atenienses mantiveram o navio no qual Teseu retornou da ilha de Creta a Atenas por várias centenas de anos. É claro que o navio deteriorou-se gradualmente e os carpinteiros substituíram as tábuas podres por novas, e como resultado não sobrou um pedaço de madeira velha. As melhores mentes do mundo, incluindo filósofos proeminentes como Thomas Hobbes e John Locke, ponderaram durante séculos se estes nós poderia ter estado neste navio.
Assim, a essência do paradoxo é a seguinte: se você substituir todas as partes do objeto por novas, ele pode ser o mesmo objeto? Além disso, surge a pergunta - se você montar exatamente o mesmo objeto com as peças antigas, qual dos dois será "o mesmo"? Representantes de diferentes escolas filosóficas deram respostas diretamente opostas a essas questões, mas ainda existem algumas contradições nas possíveis soluções para o paradoxo de Teseu.
A propósito, se considerarmos que as células do nosso corpo se renovam quase completamente a cada sete anos, podemos supor que no espelho vemos a mesma pessoa de sete anos atrás?
4. Paradoxo de Galileu
O fenômeno descoberto por Galileo Galilei demonstra as propriedades contraditórias dos conjuntos infinitos. Uma breve formulação do paradoxo é a seguinte: existem tantos números naturais quanto quadrados, ou seja, o número de elementos de um conjunto infinito 1, 2, 3, 4 … é igual ao número de elementos de um conjunto infinito 1, 4, 9, 16 …
À primeira vista, não há contradição aqui, mas o mesmo Galileu em sua obra "Duas Ciências" afirma: alguns números são quadrados exatos (isto é, você pode extrair deles uma raiz quadrada inteira), enquanto outros não são, portanto, quadrados exatos junto com números ordinários deve haver mais de um quadrado exato. Enquanto isso, anteriormente em "Ciências", há um postulado de que existem tantos quadrados de números naturais quanto os próprios números naturais, e essas duas afirmações são diretamente opostas uma à outra.
O próprio Galileu acreditava que o paradoxo só pode ser resolvido em relação a conjuntos finitos, mas Georg Cantor, um dos matemáticos alemães do século 19, desenvolveu sua teoria dos conjuntos, segundo a qual o segundo postulado de Galileu (aproximadamente o mesmo número de elementos) também é verdadeiro para conjuntos infinitos. Para isso, Cantor introduziu o conceito de cardinalidade, que coincidia nos cálculos para os dois conjuntos infinitos.
5. O paradoxo da frugalidade
A formulação mais famosa de um curioso fenômeno econômico descrito por Waddill Ketchings e William Foster é: "Quanto mais economizarmos para um dia chuvoso, mais cedo ele chegará." Para entender a essência da contradição contida neste fenômeno, um pouco de teoria econômica.
William Foster
Se, durante uma recessão econômica, a maior parte da população começa a economizar suas economias, a demanda agregada por bens diminui, o que por sua vez leva a uma diminuição dos ganhos e, como consequência, a uma queda no nível geral de poupança e uma redução na poupança. Simplificando, existe uma espécie de círculo vicioso em que os consumidores gastam menos dinheiro, mas pioram seu bem-estar.
De certa forma, o paradoxo da frugalidade é análogo ao problema da teoria dos jogos denominado dilema do prisioneiro: ações que são benéficas para cada participante de uma situação individualmente são prejudiciais para eles como um todo.
6. O paradoxo de Pinóquio
Este é um subconjunto do problema filosófico conhecido como paradoxo do mentiroso. Este paradoxo é simples na forma, mas de forma alguma no conteúdo. Pode ser expressa em três palavras: “Esta afirmação é uma mentira”, ou mesmo em duas palavras - “Estou mentindo”. Na versão com Pinóquio, o problema é formulado da seguinte forma: "Meu nariz está crescendo agora."
Acho que você entende a contradição contida nesta afirmação, mas por precaução, vamos pontuar tudo sobre ela: se a frase está correta, então o nariz está realmente crescendo, mas isso significa que no momento a ideia do Papa Carlo está mentindo, o que não pode ser, então como já descobrimos que a afirmação é verdadeira. Isso significa que o nariz não deve crescer, mas se isso não corresponder à realidade, a afirmação ainda é verdadeira, e isso por sua vez indica que Pinóquio está mentindo … E assim por diante - a cadeia de causas e efeitos mutuamente exclusivos pode continuar indefinidamente.
O paradoxo do mentiroso mostra a contradição entre o enunciado no discurso coloquial e a lógica formal. Do ponto de vista da lógica clássica, o problema é insolúvel, então a afirmação "Estou mentindo" não é considerada lógica de forma alguma.
7. Paradoxo de Russell
O paradoxo, que seu descobridor, o famoso filósofo e matemático britânico Bertrand Russell, chamou apenas de paradoxo do barbeiro, estritamente falando, pode ser considerado uma das formas do paradoxo do mentiroso.
Suponha que, ao passar por um cabeleireiro, veja um anúncio nele: “Você se barbeia? Se não, você pode fazer a barba! Eu faço a barba todo aquele que não se barbeia, e ninguém mais! " É natural fazer a pergunta: como um barbeiro administra sua própria barba se ele faz a barba apenas aqueles que não fazem a barba por conta própria? Se ele mesmo não raspa a própria barba, isso contradiz sua afirmação arrogante: "Eu faço a barba a todos os que não se barbeiam."
Claro, é mais fácil presumir que o barbeiro tacanho simplesmente não pensou sobre a contradição contida em sua tabuleta e se esqueceu desse problema, mas tentar entender sua essência é muito mais interessante, embora isso exija um breve mergulho na teoria matemática dos conjuntos.
O paradoxo de Russell é o seguinte: “Seja K o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm como um elemento próprio. K se contém como seu próprio elemento? Se sim, isso refuta a afirmação de que os conjuntos em sua composição "não se contêm como um elemento próprio", se não, há uma contradição com o fato de que K é o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm como um elemento próprio e, portanto, K deve conter todos os elementos possíveis, incluindo você."
O problema surge devido ao fato de Russell em seu raciocínio usar o conceito de "o conjunto de todos os conjuntos", que em si é bastante contraditório, e foi guiado pelas leis da lógica clássica, que não são aplicáveis em todos os casos (ver parágrafo seis).
A descoberta do paradoxo do barbeiro provocou debates acalorados em vários círculos científicos, que não diminuíram até hoje. Para "salvar" a teoria dos conjuntos, os matemáticos desenvolveram vários sistemas de axiomas, mas não há evidências da consistência desses sistemas e, de acordo com alguns cientistas, não pode haver.
8. O paradoxo do aniversário
O ponto crucial do problema é o seguinte: se houver um grupo de 23 ou mais pessoas, a probabilidade de que duas delas façam aniversário no mesmo dia (dia e mês) é maior que 50%. Para grupos de 60 pessoas, a chance é superior a 99%, mas chega a 100% apenas se houver pelo menos 367 pessoas no grupo (considerando anos bissextos). Isso é evidenciado pelo princípio de Dirichlet, em homenagem a seu descobridor, o matemático alemão Peter Gustav Dirichlet.
Peter Gustav Dirichl
A rigor, do ponto de vista científico, esta afirmação não contradiz a lógica e, portanto, não é um paradoxo, mas demonstra perfeitamente a diferença entre os resultados de uma abordagem intuitiva e cálculos matemáticos, porque à primeira vista, para um grupo tão pequeno, a probabilidade de coincidência parece muito superestimada.
Se considerarmos cada membro do grupo individualmente, estimando a probabilidade de seu aniversário coincidir com o de outra pessoa, para cada pessoa a chance é de aproximadamente 0,27%, então a probabilidade total para todos os membros do grupo deve ser de cerca de 6,3% (23 / 365). Mas isso é fundamentalmente errado, porque o número de opções possíveis para escolher certos pares de 23 pessoas é muito maior do que o número de seus membros e é (23 * 22) / 2 = 253, com base na fórmula para calcular o chamado número de combinações de um determinado conjunto. Não vamos nos aprofundar em combinatória, você pode verificar a exatidão desses cálculos quando quiser.
Para 253 variantes de casais, a chance de que o mês e a data de nascimento dos participantes de um deles sejam os mesmos, como você provavelmente adivinhou, é muito superior a 6,3%.
9. O problema da galinha e dos ovos
Certamente, a cada um de vocês, pelo menos uma vez na vida, foi feita a pergunta: "O que apareceu primeiro - uma galinha ou um ovo?" Os experientes em zoologia sabem a resposta: os pássaros nasceram de ovos muito antes do aparecimento da ordem de galinhas entre eles. É interessante notar que na formulação clássica se trata apenas de um pássaro e um ovo, mas também permite uma solução fácil: afinal, por exemplo, os dinossauros surgiram antes dos pássaros e também se multiplicaram botando ovos.
Considerando todas essas sutilezas, o problema pode ser formulado da seguinte forma: o que apareceu antes - o primeiro animal que põe ovos, ou o seu próprio ovo, porque um representante de uma nova espécie teve que eclodir de algum lugar.
O principal problema é estabelecer uma relação causal entre os fenômenos de volume fuzzy. Para uma compreensão mais completa disso, verifique os Princípios da Lógica Fuzzy - generalizações da lógica clássica e teoria dos conjuntos.
Simplificando, o fato é que os animais no curso da evolução passaram por incontáveis estágios intermediários - isso também se aplica aos métodos de reprodução. Em diferentes estágios evolutivos, eles colocaram objetos diferentes que não podem ser inequivocamente identificados como ovos, mas têm algumas semelhanças com eles.
Provavelmente, não existe uma solução objetiva para este problema, embora, por exemplo, o filósofo britânico Herbert Spencer propusesse esta opção: “A galinha é apenas uma forma pela qual um ovo produz outro ovo”.
10. Desaparecimento celular
Ao contrário da maioria dos outros paradoxos da coleção, este "problema" lúdico não contém contradições, antes serve para treinar a observação e faz lembrar as leis básicas da geometria.
Se você estiver familiarizado com essas tarefas, pode pular a exibição do vídeo - ele contém a solução. Sugerimos a todos que não subam, como dizem, "até o final do livro didático", mas pensem sobre isso: as áreas das figuras multicoloridas são absolutamente iguais, mas quando elas são reorganizadas, uma das células "desaparece" (ou se torna "desnecessária" - dependendo de qual variante da posição das figuras considerado inicial). Como isso pode ser?
Dica: inicialmente há um pequeno truque no problema, que garante sua "paradoxalidade", e se você conseguir encontrá-lo, tudo se encaixará imediatamente, embora a célula ainda "desapareça".
